Im letzten Video haben wir die Optimalitätskriterien erster Ordnung, die notwendigen

Optimalitätsbedingungen erster Ordnung kennengelernt, die uns ausgesagt haben, dass stationäre Punkte

mögliche Kandidaten für Optima sind, denn jedes lokale Minimum muss ein stationärer Punkt sein.

Und wir werden in diesem Video die notwendigen Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung einführen,

die werden auch über die Hessse Matrix entschieden und die werden uns dabei helfen,

unter diesen Kandidaten schon mal die rauszufiltern, die definitiv Wendepunkte sind.

Und wir beginnen direkt mit dem Satz, den wir formulieren wollen dafür.

Das sind die notwendigen Optimalitätsbedingungen zweite Ordnung.

Bedingungen zweiter Ordnung, eben weil sie die zweite Ableitung umfassen.

Und wie formulieren wir den Satz? Wir brauchen wie immer unsere Standardannahme in der Optimierung

ein offenes zusammenhängendes Gebiet.

Warum muss das Ganze eigentlich zusammenhängend sein? Das habe ich bisher noch gar nicht erwähnt.

Die Idee ist es ja, dass wir immer bei den Sätzen, die wir formulieren, die Taylor-Entwicklung

betrachten und damit dort nicht Punkte auftauchen, an denen die nicht in der Menge Omega liegen,

so dass wir im Prinzip in diese Richtung nicht Taylor entwickeln können, nehmen wir einfach immer

der Einfachheit an, dass unser gesamtes Gebiet zusammenhängt ist und dort keine Lücken im

Definitionsbereich entstehen, denn ansonsten würden diese Beweise viel technischer werden.

Ein offenes zusammenhängendes Gebiet und wir haben eine realwertige Zielfunktion.

Von Omega in die reellen Zahlen. Eine reellwertige Zielfunktion.

Und was sagt uns jetzt die notwendigen Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung?

Wir sagen, wenn wir ein lokales Minimum von F vorliegen haben und in diesem Punkt die

Hessse Matrix stetig ist und positiv semi-definit. Nein, sie muss nur stetig sein. Dann sagen uns die

notwendigen Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung, dass dieser Punkt ein stationärer Punkt ist,

das kennen wir schon und gleichzeitig muss diese Hessse Matrix positiv definit sein.

Ja, also das ist nicht etwas, was wir annehmen, sondern das gilt, falls es ein lokales Minimum ist.

Das wollen wir mal formulieren. Sei x Sternchen in Omega ein lokales Minimum von F.

Und die Hessse Matrix muss stetig sein. Das heißt, wir erwarten, dass sie Funktion F zwei

mal partiell stetig definierbar ist, zumindest lokal um diesen Punkt herum.

Das brauchen wir auch wieder für die Tailer-Entwicklung. Die Hessse Matrix,

die hatten wir bezeichnet mit H und dem Subindex F. Von F stetig in einer offenen Umgebung.

Offene Umgebung, da nennen wir wieder u einige给Omega deumenge esinaryfräße von

dem punkt x Sternchen, der soll ja drin liegen, dann können wir die Aussage

Aussage der Notwendigen Optimalitäts Bedingung Zweite Ordnung treffen.

Nämlich das gelten die Optimalitäts Bedingungen Erste Ordnung, das kennen wir schon,

der Gradient von f muss in diesem Punkt verschwinden, das heißt, es handelt sich um einen stationären Punkt.

notwendige bedingung erster ordnung

und unsere hassematrix ist in diesem punkt positiv semi definit

das ist sozusagen die bedingung zweiter ordnung die jetzt hinzu kommt leave

das heißt die hassematrix von f

Em Bugün ist ImaginpunktWeche treten

Experten

streamlined

die

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das substrate

das

encouraging

insbesondere das heißt definiertheit dass wir das skala produkt mit einem beliebigen vector p

betrachten die matrix angewendet auf p der rechten seite dann muss das ganze hier immer echt größer

gleich 0 sein für alle p aus dem e auch n wir haben auch schon kriterien dafür kennengelernt